“78与13的巧妙相遇”指的是一个典范的组合数学问题：若是有13小我私家 ，每两小我私家只相遇一次 ，那么一共会爆发78次两两相遇 。盘算要领是 13×12÷2=78 。其中 ，13体现加入者总数 ，12体现每小我私家可以与其余12小我私家相遇 ，除以2则是为了消除重复盘算 。
为什么13小我私家会爆发78次相遇？
要害在于明确“相遇”的统计工具 。这里的一次相遇 ，不是指某小我私家加入了一场活动 ，而是指一组确定的两小我私家晤面 。例如 ，甲和乙相遇算一次 ，甲和丙相遇也算一次；但乙和甲的相遇不可再次单独盘算 ，由于它与甲和乙是统一对人 。
可以先从每小我私家的角度视察 。13小我私家中的恣意一人 ，都能与另外12小我私家划分相遇 ，因此起源盘算为：
13×12=156
但这个效果把每一对人盘算了两遍 。甲和乙相遇时 ，从甲的角度看会纪录一次 ，从乙的角度看也会纪录一次；现实上 ，这仍然只是统一场两人相遇 。以是要把156除以2：
156÷2=78
因此 ，13小我私家在“每两小我私家恰恰相遇一次”的条件下 ，总共形成78组差别的两人组合 ，也就是78次两两相遇 。
按办法盘算时 ，为什么必需除以2？
另一种更直观的要领 ，是凭证人物泛起的顺序逐步统计 ，阻止重复纪录 。
- 第1小我私家可以与后面的12小我私家相遇 ，爆发12次 。
- 第2小我私家不再和第1小我私家重复盘算 ，只与后面的11小我私家相遇 ，爆发11次 。
- 第3小我私家只与后面的10小我私家盘算 ，爆发10次 。
- 依次继续 ，直到第12小我私家与第13小我私家相遇 ，爆发1次 。
把这些次数相加 ，就是：
12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=78
这种要领展现了78的泉源：它不是一个伶仃的数字 ，而是从12一连加到1获得的三角数 。第一小我私家毗连12个新工具 ，第二小我私家毗连11个尚未盘算的工具 ，后面每小我私家依次镌汰一个新的组合 ，直到最后只剩下1对 。
若是把每小我私家与其他人的关系画成连线 ，13小我私家就是13个点 ，每两点之间连一条线 。需要盘算的着实是这些点之间一共有几多条连线 。每条连线对应一对人 ，也对应一次自力的两两相遇 。
78与13之间 ，真正的纪律是什么？
从外貌看 ，78即是13的6倍 ，但“78是13乘以6”并不是最完整的诠释 。6来自13减去1后再除以2 ，即：
78=13×（13-1）÷2=13×6
这里的“6”并不体现每小我私家只遇到6小我私家 ，而是由于每一对相遇在按小我私家统计时被重复看到了两次 。先用13乘以12统计所有人的相遇纪录 ，再通过除以2合并重复的正反偏向 ，才获得真实的两人组合数 。
用组合数体现 ，这个问题就是从13小我私家中任取2小我私家 ，盘算差别取法的数目：
C(13,2)=13!÷（2!×11!）=13×12÷2=78
组合数中的“2”体现每组选择两小我私家 。由于选择甲和乙 ，与选择乙和甲没有区别 ，以是顺序不影响效果 。这正是两两相遇问题与排列问题的区别 。
若是人数改变 ，怎样快速算出相遇次数？
把13换成恣意人数n ，只要仍然知足“每两小我私家只相遇一次” ，就可以使用通用公式：
相遇总次数=n×（n-1）÷2
例如 ，5小我私家两两相遇时 ，次数为5×4÷2=10；10小我私家两两相遇时 ，次数为10×9÷2=45；20小我私家两两相遇时 ，次数为20×19÷2=190 。
| 人数 | 盘算式 | 相遇次数 |
|---|---|---|
| 5人 | 5×4÷2 | 10次 |
| 10人 | 10×9÷2 | 45次 |
| 13人 | 13×12÷2 | 78次 |
| 20人 | 20×19÷2 | 190次 |
从这个公式还能看出 ，相遇次数不会随着人数简朴地按同样倍数增添 。人数增添1时 ，新增添的这小我私家会与原有所有人各相遇一次 ，因此新增次数即是原来的人数 。好比从13人增添到14人 ，就会新增13次相遇 ，总数从78次变为91次 。
什么情形下可以使用78这个效果？
78这个谜底建设在几个明确条件之上 。第一 ，加入者必需是13人；第二 ，统计的是两小我私家组成的组合；第三 ，每一对人只盘算一次；第四 ，不思量相遇的先后顺序；第五 ，默认每小我私家都与其他所有人完成相遇 。
若是统一对人晤面两次 ，那么第二次是否计入 ，要看问题统计的是“差别配对”照旧“现实爆发的晤面次数” 。若统计差别配对 ，甲和乙仍然只算一组；若统计现实晤面次数 ，第二次晤面也需要单独纪录 ，此时总数就可能凌驾78 。
若是一次活动中有3小我私家同时晤面 ，也不可直接把它当成一次两两相遇 。三小我私家在统一场活动里包括甲乙、甲丙、乙丙三组两人关系 ，因此按两两配对盘算 ，应对应3组组合 。类似地 ，若问题统计的是聚会场次、活动场次或小组数目 ，就需要先确认统计单位 ，不可直接套用78 。
以是 ，“78与13的巧妙相遇”真正展示的是一种从详细场景提炼数学结构的要领：13小我私家之间共有78组差别的两人组合 。只要捉住“每两小我私家配成一组”这一焦点 ，便能通过逐步相加、重复消除或组合公式 ，稳固地获得统一个谜底 。
